미분적분학 - 기초부터 응용까지 (한빛아카데미) | 1.4장 정리 + 솔루션

 

1.4장 내용 정리 + 연습문제 풀이입니다.

 

연습문제 풀이의 경우 모든 문제를 풀이하지만 간단하거나 조금 이상한 문제는 스킵하기도 합니다.

 

풀이에서 나오는 기호들을 모르시겠다면 이 글을 한번 보시고, 궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨주세요.

영어로 된 수학 용어 정리

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1.4. 역함수, 역삼각함수와 역쌍곡선함수

1. 역함수

함수 f가 집합 X에서 Y로 대응되는 함수일 떄 함수 \(g : Y \to X\)가 존재하여

(a) 모든 y \(\in Y \) 에 대하여 f(g(y)) = y이고,
(b) 모든 x \(\in X \) 에 대하여 g(f(x)) = x일 때

g를 함수 f의 역함수라고 부르고, \(g=f^{-1} \)로 표기한다.

 

말이 어렵지만 결론은 뭐냐면 f(x)가 전단사 함수일 때 역함수가 존재한다는 내용입니다.

• 전사 함수 = 일대일 함수 : \( x_1 \neq x_2 \to f(x_1) \neq f(x_2) \)
• 단사 함수 = 공역이 치역과 같은 함수

여기서 \(f : X \to Y\)가 아닌 \(f : X \to f(X) \)인 경우 함수 f가 역함수를 가질 필요충분조건은 일대일 함수가 됩니다.

가령 예를 들어서 위 그림처럼 함수 f:X->Y가 있고 이를 역함수로 나타내어봤을 때, c는 집합 Y에 있는 원소로서 \(f^{-1}\)의 정의역에 포함되지만 함숫값이 없죠. 따라서 역함수가 존재할 수 없게 되는 것입니다. 공역과 치역이 다르기 때문에 생기는 현상입니다.

 

하지만 함수 f의 공역을 집합 Y의 부분집합인 f(X), 즉 치역으로 제한해주면

 

이렇게 함수 f는 전사함수가 되고, 역함수가 존재할 수 있게 되는 것입니다. 근데 사실 복잡하게 생각하실 것 없이 그냥 수평선 판정법 패스하면 역함수라고 보셔도 무방합니다..

 

함수가 역함수를 가지는지 가지지 않는지를 판정하는 수평선 판정법은 x축에 수직인 직선을 그어서 위 아래로 움직여보면서, 해당 직선과 함수의 그래프의 교점이 2개 이상 생긴다면, 해당 함수는 전사함수가 아니므로 역함수가 존재하지 않는다! 라고 판정하는 기법입니다.

 

추가적으로, 구간에서 증가, 감소하는 증가함수나 감소함수는 역함수를 가집니다.

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2. 역삼각함수

 

삼각함수는 기본적으로 주기를 가지기 때문에 실수 전체에서는 전사함수라고 할 수 없습니다. 그렇기 때문에 정의역을 제한해서, 일대일 함수를 만들어준 뒤 역함수를 취하게 됩니다.

sin x

 

cos x

 

tan x

함수의 정의역, 치역은 교재를 참고하시면 되겠습니다.

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3. 역쌍곡선함수

 

1.3장에서 배운 쌍곡선 함수의 역함수입니다. 삼각함수와는 달리 역함수를 양함수로 표현할 수 있습니다.

 

증명은 이렇게 하시면 됩니다. (iff는 필요충분조건입니다.)

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연습문제 풀이