미분적분학 - 기초부터 응용까지 (한빛아카데미) | 2.1장 정리 + 솔루션

1.4장 내용 정리 + 연습문제 풀이입니다.

 

연습문제 풀이의 경우 모든 문제를 풀이하지만 간단하거나 조금 이상한 문제는 스킵하기도 합니다.

 

풀이에서 나오는 기호들을 모르시겠다면 이 글을 한번 보시고, 궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨주세요.

영어로 된 수학 용어 정리

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2.1 극한의 의미와 성질

 

고등학생 때 배웠던 극한의 개념을 생각하시면 됩니다,

 

다만 해석학과 고등학교 과정에서 배웠던 극한의 정리 그 사이 어딘가에 속하는 입실론-델타 개념도 나오기 때문에, 확실하게 짚고 넘어가야할 필요는 있습니다.

 

공대는 몰라도 통계학과같은 경우에는 차후 수리통계학을 배우는 과정에서 해석학에 대한 높은 수준의 이해가 수반되어야하기 때문입니다. 이로인해 2.1장을 배울 때 바이어스트라스 공리를 배우는 것입니다.

 

이 장에서 제시되는 극한의 엄밀한 정의는 다음과 같습니다.

함수 f는 점a를 포함한 열린구간에서 정의된다고 하자. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=L}$ 이란, 임의의 $ϵ<0$에 대하여 적당한 $\delta >0$가 존재하여 $0<|x-a|<\delta$이면 $|f(x)-L|<ϵ$이 성립한다는 의미이다.

 

여기서 우리가 해야할 것은 바로 이 델타를 찾아주는 것입니다.

 

예제를 통해서 확실하게 이해하고 넘어갑시다.

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샌드위치 정리

 

이 장에서 가장 중요한 정리라고도 할 수 있을 것 같습니다. 정리는 굉장히 간단합니다.

함수 f,g,h가 $x=\ne c$인 점 c를 포함하는 열린구간에 있는 모든 x에 대하여, $g(x)\le f(x)\le h(x)$이고 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g(x)={\displaystyle \underset{x\to c}{lim}h(x)=L}}$이면 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=L}$이다.

 

이를 이용해서 푸는 예제를 보시겠습니다.

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연습문제